Ecuatii exponentiale și ecuații logaritmice

Teorie Ecuații Exponentiale

ALGORITM REZOLVARE ECUAȚIE EXPONENȚIALĂ:
Tipuri de ecuații exponențiale:
1. Ecuații de forma: \(a^x = b\)
PAS 1
Îl scriu pe \(b\) ca o putere a lui \(a\)
PAS 2
Egalez exponenții.
Vezi Exemplu 1
2. Ecuații de forma: \(a^{f(x)} = a^{g(x)}, a>0, a≠1\)
PAS 1
Egalez exponenții: \(f(x) = g(x)\)
PAS 2
Determin valoarea lui \(x\).
Vezi Exemplu 2
3. Ecuații de forma: \(ap^{2f(x)} + bp^{f(x)} + c = 0, p > 0, p ≠ 1\)
PAS 1
Notez: \(p^{f(x)} = t\)
Ecuația devine: \(at^2 + bt + c = 0\)
PAS 2
Aplic algoritmul de rezolvare a ecuației de gradul II.
PAS 3
Dacă \(t_1 > 0\), \(t_2 > 0\) atunci \(p^{f(x)} = t_1\) și \(p^{f(x)} = t_2\).
Dacă \(t_1 < 0 < t_2\), atunci \(p^{f(x)} = t_2\).
Dacă \(t_1 < t_2 < 0\), atunci mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă.
Vezi Exemplu 3
4. Ecuații de forma: \(ap^{2f(x)} + bq^{2f(x)} + cp^{f(x)}q^{f(x)} = 0, p > 0, p ≠ 1, q > 0, q ≠ 1\)
PAS 1
Se împarte ecuația cu \(q^{2f(x)}\) și se notează cu \(t = \left(\frac{p}{q}\right)^{f(x)}\).
Ecuația devine: \(at^2 + bt + c = 0\)
PAS 2
Aplic algoritmul de rezolvare a ecuației de gradul II.
PAS 3
Aplic algoritmul de la tipul 3 de ecuații.
Vezi Exemplu 4

Teorie Ecuații Logaritmice

ALGORITM REZOLVARE ECUAȚIE LOGARITMICĂ:
Tipuri de ecuații logaritmice:
1. Ecuații de forma: \(\log_{g(x)} f(x) = b, f(x)>0,g(x)>0, g(x)≠1\)
PAS 1
Pun C.E.: \(f(x)>0,g(x)>0, g(x)≠1\).
PAS 2
Din definiție \(g(x)^b\) =\(f(x)\).
Vezi Exemplu 1
2. Ecuații de forma: \(\log_a f(x) = \log_a g(x), a>0, a≠1\)
PAS 1
Pun C.E.
PAS 2
Se elimină logaritmul (folosind monotonia logaritmului).Deci \(f(x)=g(x)\)
PAS 3
Determin valoarea lui \(x\).
Vezi Exemplu 2
3. Ecuații de forma: \(a\log^2_{d}f(x) + b\log_{d} f(x)+c=0, a≠0,d≠1,d>0 f(x)>0\)
PAS 1
Pun C.E.
PAS 2 Notez: \(t = \log_{d} f(x)\)
Ecuația devine: \(at^2 + bt + c = 0\)
PAS 3
Aplic algoritmul de rezolvare a ecuației de gradul II.
PAS 4
Aplic algoritmul de la tipul 3 de ecuații exponențiale (PAS3).
Vezi Exemplu 3
4. Ecuații ce conțin logaritmi în baze diferite.
PAS 1
Pun C.E..
PAS 2
Aduc logaritmii la aceeași bază folosind formula de schimbare a bazei:

\(\log_a x =\frac{\log_b x}{\log_b a}, a,b>0,a,b≠1\)

Ecuații exponentiale

Știind că 2^\(x+1\)=8, să se determine \(x\).

8 poate fi scris ca \(2^3\)

Așadar 2^\(x+1\) = 2³

\(⟺ x+1 =3 ⟺ x = 3-1 \) deci \(x=2\)

Ecuații logaritmice

Știind că \(\log_{3} (2x+1) = 2 \), să se determine \(x\).

Pun C.E.: \(2x+1>0\), deci \(x>-\frac{1}{2}\)

Cum \(\log_{3} (2x+1) = 2 \) ⟹ \(2x+1=3^2\)

\(⟺ 2x+1 =9 ⟺ 2x = 9-1 \) deci \(x=\frac{8}{2}=4\)

Verific C.E.: \(4>-\frac{1}{2}\) deci soluția ecuației este \(x=4\)

Știind că \(\log_{3} (2x+1) = \log_{3}(4x-9) \), să se determine \(x\).

Pun C.E.: \(2x+1>0\) și \(4x-9>0\), deci \(x>\frac{9}{4}\)

Cum \(\log_{3} (2x+1) = \log_{3}(4x-9) \) ⟹ \(2x+1=4x-9\)

\(⟺ 4x-2x =1+9 ⟺ 2x = 10 \) deci \(x=\frac{10}{2}=5\)

Verific C.E.: \(5>\frac{9}{4}\) deci soluția ecuației este \(x=5\)

Știind că \(\lg^2 x - 6\lg x +8 = 0\), să se determine \(x\).

Pun C.E.: \(x>0\).

Notez cu \(t\) pe \(\lg x\)

Ecuația devine: \(t^2 - 6t+8=0\)

Identif coeficienții: \(a=1, b = - 6, c = 8 \).

\(\lg x =2 \)⟺ \(x=10^2\)⟺ \(x=100\)

și

\(\lg x =4\)⟺ \(x=10^4\)⟺ \(x=10000\)

Verific C.E.: \(100>0\) și \(10000>0\) deci soluțiile ecuației sunt \(x=100\) și \(x=10000\)

Știind că \(\log_{3}x +log_{\sqrt[]{3}}x +\log_{\frac{1}{3}}x =9\), să se determine \(x\).

Pun C.E.: \(x>0\).

Transform logaritmii la baza 3:

\(log_{\sqrt[]{3}}x =\frac{\log_{3}x}{\log_{3}\sqrt[]{3}}=2\log_{3}x\)

\(log_{\frac{1}{3}}x =\frac{\log_{3}x}{\log_{3}\frac{1}{3}}=-\log_{3}x\)

Ecuația devine : \(3\log_{3}x =9 \)⟺\(\log_{3}x=3\)⟺ \(x=3^3=27\)

Verific C.E.: \(27>0\) deci \(x=27\) soluția ecuației.