Ecuatii exponentiale și logaritmice

Teorie progresie aritmetică

Șirul \( (a_n)_{n \geq 1} \) este o progresie aritmetică de rație \( r \) dacă \( a_{n+1} = a_n + r \), \( \forall n \geq 1 \).

Termenul general al unei progresii aritmetice:

\( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r, \quad \forall n \geq 1 \)

Rația :

\( r = a_n - a_{n-1} \)

Suma primilor \(n\) termeni:

\( S_n=a_1+a_2+......+a_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \)

Condiția ca un șir să fie progresie aritmetică:

\( (a_n)_{n \geq 1} \) este o progresie aritmetică⟺ \( a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \)

Teorie Progresie geometrică

\( (b_n)_{n \geq 1} \) este o progresie geometrică de rație \( q \) (unde \( q \neq 0 \)), dacă \( b_{n+1} = b_n \cdot q, \quad \forall n \geq 1 \).

Termenul general al unei progresii geometrice:

\( b_{n} = b_1 \cdot q^{n-1}, \quad \forall n \geq 1\)

Rația :

\( q = \frac{b_n}{b_{n-1}}, \quad \forall n \geq 2 \).

Suma primilor \(n\) termeni:

\(S_n\)= \( \left\{ \begin{array}{l} b_1 \frac{q^n -1}{q-1} , q ≠1 \\ nb_1 , q=1 \end{array} \right. \)

Condiția ca un șir să fie progreie aritmetică:

\( (b_n)_{n \geq 1} \) este o progresie geometrică⟺ \( b^2_n = b_{n-1}∙b_{n+1} \)