Ecuațiile ce conțin necunoscuta sub semnul radical se numesc ecuații iraționale.

TIPURI DE ECUAȚII:

1. Ecuații iraționale care conțin doar radicali de ordin doi.

ALGORITM:
PAS 1 Pun condiția de existență (C.E.)! Condiția de existență este ca suma algebrică de sub radical să fie mai mare egală cu zero.
Exemplu: \( \sqrt[2]{2x+4} = 2 \) C.E.: \( 2x + 4 ≥ 0 ⟹x≥ -2 \)
PAS 2.
2.1 Dacă ecuația este de tipul \( \sqrt []{ax+b} = c \) ridic ambii membri la pătrat. (vezi Exemplu I.1)
2.2 Dacă ecuația este de tipul \( \sqrt[]{ax+b} \ = \sqrt[]{cx+d} \), ridic la pătrat ambii membri. (vezi Exemplu I.2)
2.3 Dacă ecuația este de tipul \( \sqrt[]{ax+b} ± \sqrt[]{cx+d}\ = s \), ridic în ambii la pătrat \( \ (ax+b)± 2 \sqrt[]{(ax+b)(cx+d)}\ +(cx+d) = s^2 \) , „separ” radicalul \( \ ±2 \sqrt[]{(ax+b)(cx+d)}\ = s^2 - ax - b - cx - d \) și mai ridic o dată în ambii membri la pătrat. (vezi Exemplu I.3)
PAS 3.
Rezolv ecuația!!!!
PAS 4.
Verific soluțiile obținute!!!
Exemplu I.1:
Să se rezolve ecuația: \( \sqrt[ ]{4x-5} \ = \sqrt[ ]{3} \)
Rezolvare:
C.E.: \( 4x - 5 ≥ 0 ⟹x≥ \frac{5}{4} \) sau \( x ∈ [ \frac{5}{4},+∞) \) \( \sqrt[]{4x-5}\ = \sqrt[]{3} \ ↑^2 ⟺ (\sqrt[]{4x-5})^2 = (\sqrt[]{3} )^2 ⟺ 4x - 5 = 3 ⟺ 4x = 3 + 5 ⟺ x = 2 \) Verific C.E. : Conform condiției de existență \( x \) trebuie sa fie mai mare egal cu \( \frac{5}{4} \). Am obținut \( x=2 \) care este mai mare decât \( \frac{5}{4} \). Deci \( x=2 \) convine.
Exemplu I.2:
Să se rezolve ecuația: \( \sqrt[ ]{4x-8} \ = \sqrt[ ]{2x-4} \)
Rezolvare:
C.E.: \( 4x - 8 ≥ 0 ⟹x≥2 \) și \( 2x - 4 ≥ 0⟹x≥2 \) . Deci \(x≥2 \)
\( \sqrt[]{4x-8}\ = \sqrt[]{2x-4} \ ↑^2 ⟺ (\sqrt[]{4x-8})^2 = (\sqrt[]{2x-4} )^2 ⟺ 4x - 8 = 2x-4 ⟺ 4x-2x = -4 + 8 ⟺ 2x = 4 ⟹x=2 \)
Verific C.E. : Conform condiției de existență \( x \) trebuie sa fie mai mare egal cu 2. Am obținut \( x=2 \) care satisface condiția. Deci \( x = 2 \) convine.
Exemplu I.3:
Să se rezolve ecuația: \( \sqrt[ ]{x} \ + \sqrt[]{x-3}\ = 3 \)
Rezolvare:
\( \sqrt[]{x} + \sqrt[]{x-3} = 3 \uparrow^2 \Rightarrow (\sqrt[]{x} + \sqrt[]{x-3})^2 = 3^2 \Rightarrow x + 2\sqrt[]{x(x-3)} + x - 3 = 9 \)
\[ 2\sqrt{x(x-3)} = 12 - 2x \\ \uparrow^2 \\⟺ (2\sqrt{x(x-3)})^2 = (12 - 2x)^2 \\⟺ \]
\[ 4x(x-3) = 144 - 48x + 4x^2 \\⟺ 4x^2 - 12x = 144 - 48x + 4x^2 \\⟺ 4x^2 - 12x + 48x - 4x^2 = 144 \\⟺ \]
\[36x = 144 \\⟺ x = \frac{144}{36} = 4 \]

2. Ecuații iraționale care conțin doar radicali de ordin trei.

ALGORITM:
PAS 1 Radicalul de ordin 3 există oricare ar fi \( x \) real!!!!
PAS 2.
2.1 Dacă ecuația este de tipul \( \sqrt [3]{ax+b} = c \) ridic ambii membri la puterea a treia. (vezi Exemplu II.1)
2.2 Dacă ecuația este de tipul \( \sqrt[3]{ax+b} \ = \sqrt[3]{cx+d} \), ridic la puterea a treia ambii membri. (vezi Exemplu II.2)
2.3 Dacă ecuația este de tipul \( \sqrt[3]{ax+b} ± \sqrt[3]{cx+d}\ = s \), ridic la puterea a treia ambii membri și folosesc formula \( (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b) \) sau \( (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) \) (Vezi exemplu II.3)
PAS 3.
Rezolv ecuația!!!!
PAS 4.
Verific soluțiile obținute!!!

Exemplu II.1:

Să se rezolve ecuația: \( \sqrt[3]{x-1} \ = 2 \)

Rezolvare:

\( \sqrt[3]{x-1}\ = 2 \ ↑^3 ⟺ (\sqrt[3]{x-1})^3 = 2^2 ⟺ x - 1 = 8 ⟺ x = 8 + 1 ⟺ x = 9 \)

Exemplu II.2:

Să se rezolve ecuația: \( \sqrt[3]{2x-1} \ = - \sqrt[3]{2-x} \)

Rezolvare:

\( \sqrt[3]{2x-1}\ = - \sqrt[3]{2-x} \ ↑^3 ⟺ (\sqrt[3]{2x-1})^3 = (- \sqrt[3]{2-x})^3 ⟺ 2x - 1 = - 2 + x ⟺ x = -2 +1 ⟺ x = - 1 \)

Exemplu II.3:

Să se rezolve ecuația: \( \sqrt[3]{x+47} \ - \sqrt[3]{x-16} =3 \)

Rezolvare:

\( \sqrt[3]{x+47} \ - \sqrt[3]{x-16} =3 \) ↑^3 ⟺ \( (\sqrt[3]{x+47} \ - \sqrt[3]{x-16} \))^3 = 3^3 ⟺

\( ⟺ (\sqrt[3]{x+47} )^3 - 3 (\sqrt[3]{x+47} )^2 ∙(\sqrt[3]{x-16} ) + 3 (\sqrt[3]{x+47} )∙(\sqrt[3]{x-16} )^2 - (\sqrt[3]{x-16} )^3 = 27 ⟺ \)

\( ⟺ -3 ( \sqrt[3]{x+47} )∙( \sqrt[3]{x-16})∙(( \sqrt[3]{x+47} )- ( \sqrt[3]{x-16})) \) = - 36 ⟺

Din enunț știm că : \( \sqrt[3]{x+47} \ - \sqrt[3]{x-16} =3 \) . Relația devine:

\( -3 ( \sqrt[3]{x+47} )∙( \sqrt[3]{x-16})∙3 \) = - 36 ⟺ \( ( \sqrt[3]{x+47} )∙( \sqrt[3]{x-16}) \) = 4 ⟺ \( ( \sqrt[3]{(x+47)(x-16)} )^3 = 4^3 \) ⟺

⟺ \(x^2 + 47x - 16x -47∙16 = 64 \) ⟺ \(x^2 + 31x -816 = 0 \)

\( Δ = (31)^2-4∙1∙(-816)=961+3264=4225=65^2 \)

\(x_12 = \frac{-(31)± \sqrt[]{65^2} \ }{2∙1} = \frac{-31±65}{2} \)

Deci soluțiile ecuației sunt - 48,17.

3. Alte tipuri de ecuații iraționale.