Ecuatia de gradul al II lea

Teorie ecuația de grad II

ALGORITM REZOLVARE ECUAȚIE GRADUL AL II LEA:
PAS 1 Identific coeficienții. Forma generală a ecuației de gradul al doilea este: \(ax^2 + bx + c=0\)
Deci \(a\) este coeficientul lui \(x^2\), \(b\) coeficientul lui \(x\) iar \(c\) termenul liber.
PAS 2 Calculez discriminantul.
\(Δ = b^2 - 4ac\)
PAS 3 Determin soluțiile astfel:
Caz 1 Dacă \(Δ < 0\) atunci ecuația nu are soluții reale.
Caz 2 Dacă \(Δ = 0\) atunci ecuația are soluție reală dublă și anume:\(x_{1,2} = \frac{-b}{2a}\).
Caz 3 Dacă \(Δ > 0\) atunci ecuația are două soluții reale și anume:\(x_{1,2} = \frac{-b± \sqrt[]{Δ}}{2a}\).

Exercițiu practic rezolvat

Exemplu 1:

Matei are o grădină în formă dreptunghiulară cu suprafața de 75 metri pătrați. Să se determine lungimea și lățimea grădinii, știind că lungimea este cu 10 metri mai mare decât lățimea.

Rezolvare:

Notez cu \(x\) lățimea. Deci lungimea este \(x+10\).

Știu că aria dreptunghiului este produsul dintre lungime și lățime.În limbaj matematic scriu: \(75=x(x+10)\).

\(x(x+10)=75 ⟺ x^2 +10x =75⟺ x^2 +10x -75=0\)

Identif coeficienții: \(a=1, b = 10 , c = -75 \).

Calculez discriminantul: \(Δ = b^2 - 4ac=10^2-4∙1∙(-75)=100+300=400 \)
Cum \(Δ > 0\) atunci ecuația are două soluții reale și anume:\(x_{1,2} = \frac{-b± \sqrt[]{Δ}}{2a}\).
\(x_{1,2} = \frac{-10± \sqrt[]{400}}{2}= \frac{-10±20}{2}\). Deci \(x_{1} = \frac{-10-20}{2}=\frac{-30}{2}=-15\) iar \(x_{2} = \frac{-10+20}{2}=\frac{10}{2}=5\).
Observăm că o soluție este negativă iar alta pozitivă. Cum problema ne cere să determinăm lungimea și lățimea unui teren este evident că soluția negativă nu convine. La început am stabilit că \(x\) este lățimea deci \(x=5\). Lungimea este \(x+10\) deci \(x+10=5+10=15\).
Verific: \(5∙15=75\)

Exerciții propuse

Verifică dacă ai calculat discriminantul corect!!!









Exercitiu

Exercitiu identificare coeficienti